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第一编 泛函分析3

第一章 预备知识3

1.1 实数及其完备性3

1.2 集合及其运算10

1.3 可列集13

1.4 实轴上的开集和闭集18

1.5 勒贝格测度23

1.6 可测函数35

1.7 勒贝格积分39

1.8 常用的不等式45

习题49

第二章 距离空间52

2.1 距离空间52

2.2 距离空间中的开集和闭集58

2.3 稠密性与可分性60

2.4 距离空间的完备性64

2.5 不动点原理及其应用70

2.6 列紧性81

2.7 函数列的一个收敛性问题84

习题87

第三章 赋范线性空间与线性算子90

3.1 线性空间与赋范线性空间90

3.2 不同范数的等价性96

3.3 有限维赋范线性空间98

3.4 有界线性算子107

3.5 有界线性算子空间118

3.6 某些函数空间上的有界线性泛函123

3.7 几个重要定理126

3.8 有界线性算子的正则集与谱134

习题137

4.1 基本概念和基本定理140

第四章 希尔伯特空间140

4.2 正交与正交分解147

4.3 内积空间中的标准正交系151

4.4 希尔伯特空间的自共轭性与自共轭算子161

习题168

第二编 变分法173

第五章 变分概念与变分法基本引理173

5.1 变分问题的几个实例173

5.2 变分概念177

5.3 变分法基本引理182

习题183

第六章 固定边界的变分问题185

6.1 最简单情况下的Euler方程185

6.2 含有多个未知函数的变分问题192

6.3 依赖于未知函数的高阶导数的变分问题195

6.4 依赖于多元函数的泛函199

6.5 呈参数形式的变分问题203

习题206

第七章 可动边界的变分问题210

7.1 最简单的可动边界问题210

7.2 ？F(x，y，z，y1，z1)dx型泛函的可动边界问题217

7.3 ？F(x，y，y1，y11)dx型泛函的可动边界问题223

习题226

第八章 条件极值的变分问题228

8.1 附有约束条件φ=0的变分问题228

8.2 等周问题237

习题243

第九章 变分问题中的直接方法245

9.1 里兹法245

9.2 康托罗维奇法249

习题253

习题答案与提示255

参考文献286